Transformasi Linier

Assalamualaikum
Hallo Temen-temen

Dalam bagian ini kita mulai mempelajari fungsi bernilai vektor dari sebuah peubah vektor. Yakni, fungsi yang berbentuk w = F(v), dimana baik peubahbebas v maupun peubah tak-bebas w adalah vektor. Kita akan memusatkan perhatian pada kelompok khusus fungsi vektor yang kita namakan transformasi linear. Kelompok fungsi ini mempunyai banyak penerapan penting dalam fisika, bidang teknik, ilmu sosial, dan berbagai cabang matematika.

Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan vektor unik di W dengan setiap vektor terletak di V, maka kita katakana Fmemetakan V ke dalam W, dan kita tuliskan F:VàW. lebih lanjut lagi, jika F mengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka kita tuliskan w = F(v) dan kita katakan bahwa w adalah bayangan dari v di bawah F. ruang vektor V dinamakan domainF.

Untuk melukiskannya, jika v = (x,y) adalah sebuah vektor di R², maka rumusnya

Mendefenisikan sebuah fungsi yang memetakan R² ke dalam R³. Khususnya jika v = (1,1), maka x = 1 dan y = 1, sehingga bayangan dari v di bawah F adalah F(v) = (1,2,0) dengan demikian , domain F adalah R².

Definisi, jika F:V W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F kita namakan transformasi linear ( linear transformasi) jika

(i) F(u + v) = F (u) + F (v) untuk semua vektor u dan v di V.

(ii )F(ku) = kF(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k.

Untuk melukiskannya, misalnya F:R²àR³ adalah fungsi yang didefinisikan oleh pers. 1, , sehingga

            

Demikian juga, jika k adalah sebuah skalar, ku = (kx₁, ky₁), sehingga

Jadi, F adalah sebuah transformasi linear.

Jika F:VàW adalah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v₁ dan v₂ di V dan sebarang skalar k₁ dan k₂, kita peroleh

Demikian juga, jika v₁, v₂, ……,v_n adalah vektor-vektor di V dan k₁, k₂,…….k_n adalah skalar

Contoh Soal

Misalkan A adalah sebuah matriks m x n tetap. Jika kita menggunakan notasi matriks untuk vektor diR^m dan Rⁿ, maka dapat kita defenisikan sebuah fungsi T :RⁿàR^mdengan :

T(x) = Ax

Perhatikan bahwa jika x adalah sebuah matriks n x 1, maka hasil kali Ax adalah matriks m x 1 ; jadi T memetakan Rⁿ ke dalam R^m. lagi pula, T linear, untuk melihat ini, misalkan u dan v adalah matriks n x 1 dan misalkan k adalah sebuah skalar. Dengan menggunakan sifat-sifat perkalian matriks, maka kita dapatkan

Atau secara ekivalen

Kita menamakan transformasi linear pada contoh ini perkalian oleh A. Transformasi linear semacam ini dinamakan transformasi matriks.

SPL :)

Assalamualaikum
hallo teman-teman kali ini saya akan membahas tentang SPL

• SPL Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Metode Eliminasi Gauss adalah salah satu cara yang paling awal dan banyak digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linier

Ciri-ciri Eliminasi Gauss

• Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol ada 1(1 utama).
• Baris nol terletak paling bawah.
• 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya.
• Dibawah 1 utama harus nol.

Penyelesaian : 

• Eliminasi Gauss Jordan

 Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini diberi nama Gauss-Jordan untuk menghormati Carl Friedrich Gauss dan Wilhelm Jordan. Metode ini sebenarnya adalah modifikasi dari metode eliminasi Gauss, yang dijelaskan oleh Jordan di tahun 1887. Metode Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon yang tereduksi(reduced row echelon form), sementara eliminasi Gauss hanya menghasilkan matriks sampai padabentuk baris eselon (row echelon form). Selain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, metode eliminasi Gauss-Jordan ini dapat menyelesaikan matriks.

Kelebihan dan Keuntungan :

Mengubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi. merupakan variasi dari eliminasi gauss dengan kebutuhan dapat menyelesaikan matriks invers

Penyelesaian :

• Aturan Cramer

Cramer adalah rumus yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Metode ini menggunakan determinan suatu matriks dan matriks lain yang diperoleh dengan mengganti salah satu kolom dengan vektor yang terdiri dari angka disebelah kanan persamaannya.

Cara Aturan Cramer :

1. Rubah bentuk SPL menjadi persamaan matriks.

2. Tentukan masing-masing nilai determinan dari matriks A,A1,A2 dan A3

    yaitu |A|,|A1|A2|,|A3|

    A1= Matriks A yang kolom ke 1 nya diganti dengan b.

    A2= Matriks A yang kolom ke 2 nya diganti dengan b.

    A3= Matriks A yang kolom ke 3 nya diganti dengan b.

3. Tentukan nilai 

Penyelesaian :

• Invers Matriks

Jika A dan B adalah matriks persegi dan berlaku A . B = B . A = 1, maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A atau ditulis B = A-1. Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular. Sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singulara

Jika A	=	[	a	b	]	Dengan ad – bc ≠ 0
			c	d

Maka invers dari matrik A (ditulis A-1) dirumuskan sebagai berikut.

A-1	=	1	[	d	−b	]
		ad – bc		−c	a

Jika ad – bc = 0, maka matriks tersebut tidak mempunyai invers atau disebut matriks singular.

Penyelesian : 

Nilai dan Vektor Eigen

Assalamualaikum

Hai Teman-Teman kali ini saya akan berbagi sedikit materi tentang nilai dan vektor eigen nih,dimulai dari definisinya dan contoh soalnya.


Nilai Eigen  adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n, sementara vektor Eigen adalah vektor kolom bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri. Definisi tersebut berlaku untuk matriks dengan elemen bilangan real dan akan mengalami pergeseran ketika elemen berupa bilangan kompleks.Untuk setiap nilai Eigen ada pasangan vektor Eigen yang berbeda, namun tidak semua persamaan matriks memiliki nilai Eigen dan vektor Eigen. Nilai Eigen dan vektor Eigen berguna dalam proses kalkulasi matriks, di mana keduanya dapat diterapkan dalam bidang Matematika murni dan Matematika terapan seperti transformasi linear.

Nilai dan vektor Eigen sendiri memiliki beberapa syarat yang harus dipenuhi, yaitu:^[3]

• ${\displaystyle (A-\lambda I)}$ tidak memiliki invers atau ${\displaystyle det(A-\lambda I)=0}$
• ${\displaystyle x\neq 0}$

Perhitungan nilai dan vektor Eigen tetap mengguankan perhitungan matriks dasar, yaitu penjumlahan matriks dan perkalian matriks Perhitungan dimulai dengan mencari nilai Eigen, kemudian dengan nilai Eigen diperoleh (dapat berjumlah lebih dari 1 nilai) akan dihitung vektor Eigen untuk masing - masing nilai yang memenuhi persamaan.

Contoh Soal :

Sistem Persamaan Linear (Definisi)

Sistem Persamaan Linier


Assalamualaikum
hallo teman-teman
kali ini saya akan sedikit sharing tentang definisi dan metode apa saja yang digunakan dalam  Sistem Persamaan Linear

  Persamaan linier sama halnya dengan persamaan aljabar , yaitu merupakan sebuah  sisitem hitung dalam ilmu matematika dan dapat digambarkan dalam bentuk garis lurus dalam sebuah grafik .

Atau bisa juga disebut dengan sekumpulan persamaan linear yang terdiri dari beberapa variabel, sistem ini terdiri dari tiga persamaan variabel yaitu X,Y,Z.

contohnya adalah :

• - 3x + 2y - z = 1
• - 2x -2y + 4z = -2

Dalam ilmu Matematika, teori sistem linear merupakan dasar aljabar linear. teori ini juga sangat diperlukan dalam bidang yang lain seperti fisika,kimia,ilmu komputer dll.

Bentuk umum yang biasa ada dalam SPL adalah

• Persamaan Vektor
• Persamaan Matriks

dan biasanya metode penyelasaianya itu menggunakan metode sbb ;

•  Eliminasi variabel
•  Pengurangan baris

:)