Transformasi Linier
Assalamualaikum
Hallo Temen-temen
Dalam bagian ini kita mulai mempelajari fungsi bernilai vektor dari sebuah peubah vektor. Yakni, fungsi yang berbentuk w = F(v), dimana baik peubahbebas v maupun peubah tak-bebas w adalah vektor. Kita akan memusatkan perhatian pada kelompok khusus fungsi vektor yang kita namakan transformasi linear. Kelompok fungsi ini mempunyai banyak penerapan penting dalam fisika, bidang teknik, ilmu sosial, dan berbagai cabang matematika.
Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan vektor unik di W dengan setiap vektor terletak di V, maka kita katakana Fmemetakan V ke dalam W, dan kita tuliskan F:VàW. lebih lanjut lagi, jika F mengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka kita tuliskan w = F(v) dan kita katakan bahwa w adalah bayangan dari v di bawah F. ruang vektor V dinamakan domainF.
Hallo Temen-temen
Dalam bagian ini kita mulai mempelajari fungsi bernilai vektor dari sebuah peubah vektor. Yakni, fungsi yang berbentuk w = F(v), dimana baik peubahbebas v maupun peubah tak-bebas w adalah vektor. Kita akan memusatkan perhatian pada kelompok khusus fungsi vektor yang kita namakan transformasi linear. Kelompok fungsi ini mempunyai banyak penerapan penting dalam fisika, bidang teknik, ilmu sosial, dan berbagai cabang matematika.
Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan vektor unik di W dengan setiap vektor terletak di V, maka kita katakana Fmemetakan V ke dalam W, dan kita tuliskan F:VàW. lebih lanjut lagi, jika F mengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka kita tuliskan w = F(v) dan kita katakan bahwa w adalah bayangan dari v di bawah F. ruang vektor V dinamakan domainF.
Untuk melukiskannya, jika v = (x,y) adalah sebuah vektor di R2, maka rumusnya
Mendefenisikan sebuah fungsi yang memetakan R2 ke dalam R3. Khususnya jika v = (1,1), maka x = 1 dan y = 1, sehingga bayangan dari v di bawah F adalah F(v) = (1,2,0) dengan demikian , domain F adalah R2.
Definisi, jika F:V W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F kita namakan transformasi linear ( linear transformasi) jika
(i) F(u + v) = F (u) + F (v) untuk semua vektor u dan v di V.
(ii )F(ku) = kF(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k.
Untuk melukiskannya, misalnya F:R2àR3 adalah fungsi yang didefinisikan oleh pers. 1, , sehingga
Demikian juga, jika k adalah sebuah skalar, ku = (kx1, ky1), sehingga
Jadi, F adalah sebuah transformasi linear.
Jika F:VàW adalah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v1 dan v2 di V dan sebarang skalar k1 dan k2, kita peroleh
Demikian juga, jika v1, v2, ……,vn adalah vektor-vektor di V dan k1, k2,…….kn adalah skalar
Contoh Soal
Misalkan A adalah sebuah matriks m x n tetap. Jika kita menggunakan notasi matriks untuk vektor diRm dan Rn, maka dapat kita defenisikan sebuah fungsi T :RnàRmdengan :
T(x) = Ax
Perhatikan bahwa jika x adalah sebuah matriks n x 1, maka hasil kali Ax adalah matriks m x 1 ; jadi T memetakan Rn ke dalam Rm. lagi pula, T linear, untuk melihat ini, misalkan u dan v adalah matriks n x 1 dan misalkan k adalah sebuah skalar. Dengan menggunakan sifat-sifat perkalian matriks, maka kita dapatkan
Atau secara ekivalen
Kita menamakan transformasi linear pada contoh ini perkalian oleh A. Transformasi linear semacam ini dinamakan transformasi matriks.
0 komentar: